如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;(1)延长MP交CN

如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;(1)延长MP交CN

题型:辽宁省中考真题难度:来源:
如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;
(1)延长MP交CN于点E(如图2)。①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变。此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由。
答案
解:(1)证明:如图2,
∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,
∴∠BMN=∠NM=90°,
∴BM//CN,
∴∠MBP=∠ECP,
又∵P为BC边中点,
∴BP=CP,
又∵∠BPM=∠CPE,
∴△BPM≌△CPE,
②∵△BPM≌△CPE,
∴PM=PE,
∴PM=ME,
∴在Rt△MNE中,PN=ME,
∴PM=PN;
(2)成立,如图3,
延长MP与NC的延长线相交于点E,
∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,
∴∠BMN=∠CNM=90°,
∴∠BMN+∠CNM=180°,
∴BM//CN,
∴∠MBP=∠ECP,
又∵P为BC中点,
∴BP=CP,
又∵∠BPM=∠CPE,
∴△BPM≌△CPE,
∴PM=PE,
∴PM=ME,则在Rt△MNE中,PN=ME,
∴PM=PN;
(3)四边形MBCN是矩形,PM=PN成立。
举一反三
如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长。
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如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为(    )。
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F。

(1)求证:BF=AD+CF;
(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长。

题型:内蒙古自治区中考真题难度:| 查看答案
如图,点B在∠DAC的平分线AE上,请添加一个适当的条件:(    ),使△ABD≌△ABC。(只填一个即可)
题型:黑龙江省中考真题难度:| 查看答案
做如下操作:在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D,将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像与△ACD重合。
对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。
由上述操作可得出的是(    )(将正确结论的序号都填上)。
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
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