如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF。（1）证明：EF=CF；（2）当

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF。
（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=时，求EF的长。

答案

解：（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得，四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC，
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC（AAS），
∴DE=DC，且AE=GC，
在△EDF和△CDF中，∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF=DF，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF；
（2）∵tan∠ADE=，
∴AE=GC=2，
设EF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=6-2=4，
由勾股定理，得，
解之，得x=5，即EF=5。