如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。
图1                                图2

答案

解：（1）相等。理由：
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴∠B=∠DCN=90°，AB=BC=2BE，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEN，
∵CF是∠DCN的角平分线，∠FNC=90°，
∴∠FCN=∠CFN=45°，
∴FN=CN，
在Rt△ABE和Rt△ENF中
tan∠BAE=tan∠FEN =，
∴EN=2FN，
∴EC+CN=2CN，
∴FN=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△ENF，
∴AE=EF；（2）①tan∠BAE=tan∠FEN=；
∴，
∴BE（EC+CN）=CN（BE+EC），
∴BE·EC+BE·CN = BE·CN+CN·EC，
∴BE·EC=CN·EC，
∴BE=CN，
∴BE=FN= x， 
∴，
②
当x=2时，y有最大值为2。