如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点。（1

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点。
（1）求证：ME=MF；
（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC=2AB=4，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系。

答案

解：（1）证明：如图，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H
∴∠MGE=∠MHF=90°，
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH，
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2，
在△MGE和△MHF中，
∴△MGE≌△MHF，∴ME=MF；（2）①如图，当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时，过点M作MG⊥BC于点G，
MH⊥CD于点H，∴∠MGE=∠MHF=90°，
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2，
在△MCE和△MHF中，，
∴△MGE∽△MHF，∴=，
∵M为矩形对角线AC，BD的交点，∴MB=MD=MC，
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC、DC的中点，
∵BC=2AB=4，∴MG=AB，MH=BC，∴=；②如图，当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时，过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC干点H，∴∠MGE=∠MHF=90°
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2在△MGE和△MHF中，
∴△MGE∽△MHF，∴=，
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MA=MC，
又∵ MG⊥ AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点，
∵BC=2AB =4，∴MG=BG，MH=AB，∴=2。③如图，当MN、MQ两边都交边BC，交点分别为E、F时，过点M作MH⊥BC于点H
∴∠MHE=∠MHF=∠NMQ=90°
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴△MEH∽△FEM，△FMH∽△FEM，
∴，
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴点M为AC的中点，
又∵MH⊥BC，∴点M、H分别是AC、BC的中点，
∴BC=2AB=4，∴AB=2，∴MH=1，
∴
∴；④如图，当MN交BC边于点E，MQ交AD边于点F时延长FM交BC于点G，
易证△MFD≌△MGB，∴MF=MG，理由同③得：
，，
综上所述：ME与MF的数量关系是：或或。