已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．（1）求证：BM=DN；（2）如图②，四边形AMNE是由

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已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．

（1）求证：BM=DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰3，求

的值．

答案

（1）证明：连接BD，则BD过点O．
                 ∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN．
           又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN；
（2）证明：∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC．又BM=DN，
      ∴AN=CM． ∴四边形AMCN是平行四边形．
         由翻折得，AM=CM， ∴四边形AMCN是菱形；
（3）∵

又

：

=1：3
       ∴DN︰CM=1︰3
      设DN=k，则CN=CM=3k．
      过N作NG⊥MC于点G，则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k．
      NG=

∴MN=

∴

举一反三

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如左图，当点M在AB边上时，连接BN，
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α ，求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如右图，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12），试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形。

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如图，四边形ABCD中，AD⊥AB BC⊥AB BC=2AD DE⊥CD交AB边于E，连结CE。请找出DE、AE、CE之间的等量关系并加以证明。

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如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32^。，分别以BC、CD为边向外作

BCE 和

DCF，使BE=BC、
DF=DC．∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF．
（1）求证：

ABE≌

FDA．
（2）当

时，求∠EBH的度数．

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（1）如图（1），△ABC为正三角形，点M是BC上任一点，点N是边AC上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？请说明理由；
（2）如图（2），四边形ABCD为正方形，点M是BC上任一点，点N是边CD上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？简要说明理由；
（3）如图（3），在正五边形ABCDE中，点M是BC上任一点，点N是边CD上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？

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已知：如图，矩形ABCD中，BC延长线上一点E满足BE=BD，F是DE的中点，猜想∠AFC的度数并证明你的结论。

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已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）． （1）求证：BM=DN；（2）如图②，四边形AMNE是由