试题分析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a2,边长为a; (2)如题图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积; (3)参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换.如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和.据此列方程求出AD的长度. 试题解析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为 a, 每个等腰直角三角形的面积为:a•a= a2, 则拼成的新正方形面积为:4×a2=a2,即与原正方形ABCD面积相等, ∴这个新正方形的边长为a; (2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2, ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2; (3)如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W.
由题意易得:△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长. 不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a. 如答图2所示,过点R作RM⊥SF于点M,则MF=SF=a,
在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°=a× =a, ∴S△RSF=a•a=a2. 过点A作AN⊥SD于点N,设AD=AS=x, 则AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°= x, ∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2. ∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2, ∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS, ∴=3×x2,得x2=, 解得x=或x=(不合题意,舍去) ∴x=,即AD的长为. |