如图:在正方形ABCD中,点P、Q是CD边上的两点,且DP=CQ,过D作DG⊥AP于H,交AC、BC分别于E,G,AP、EQ的延长线相交于R.(1)求证:DP=
题型:不详难度:来源:
如图:在正方形ABCD中,点P、Q是CD边上的两点,且DP=CQ,过D作DG⊥AP于H,交AC、BC分别于E,G,AP、EQ的延长线相交于R.
(1)求证:DP=CG; (2)判断△PQR的形状,请说明理由. |
答案
(1)证明见试题解析;(2)△PQR为等腰三角形,理由见试题解析. |
解析
试题分析:(1)正方形对角线AC是对角的角平分线,可以证明△ADP≌△DCG,即可求证DP=CG. (2)由(1)的结论可以证明△CEQ≌△CEG,进而证明∠PQR=∠QPR.故△PQR为等腰三角形. 试题解析:(1)在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADP=∠DCG=90°,∠CDG+∠ADH=90°,∵DH⊥AP,∴∠DAH+∠ADH=90°,∴∠CDG=∠DAH,∴△ADP≌△DCG,∵DP,CG为全等三角形的对应边,∴DP=CG. (2)△PQR为等腰三角形.理由如下: ∵CQ=DP,由(1)的结论可知,∴CQ=CG,∵∠QCE=∠GCE,CE=CE,∴△CEQ≌△CEG,即∠CQE=∠CGE,∴∠PQR=∠CGE,∵∠QPR=∠DPA,且(1)中证明△ADP≌△DCG,∴∠PQR=∠QPR,所以△PQR为等腰三角形. |
举一反三
如图,四边形ABCD是矩形,F是AD上一点,E是CB延长线上一点,且四边形AECF是等腰梯形,下列结论中不一定正确的是( )
A.AE=FC | B.AD=BC | C.BE=AF | D.∠E=∠CFD |
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下列命题中,正确的是( )A.四边相等的四边形是正方形 | B.四角相等的四边形是正方形 | C.对角线垂直且相等的四边形是正方形 | D.对角线相等的菱形是正方形 |
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如图,已知正方形中,点是上的一点,连结,以为一边,在的上方作正方形,连结.求证:.
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为了探索代数式的最小值, 小张巧妙的运用了数学思想.具体方法是这样的:如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作,连结AC、EC.已知AB=1,DE=5,BD=8,设BC=x.则, 则问题即转化成求AC+CE的最小值.
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时,AC+CE的值最小,于是可求得的最小值等于 ,此时 ; (2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想? (选填:函数思想,分类讨论思想、类比思想、数形结合思想) (3)请你根据上述的方法和结论,试构图求出代数式的最小值. |
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