已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如
题型:不详难度:来源:
已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明. (2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想. |
答案
(1)BM+DN=MN成立.(2)DN-BM=MN. |
解析
试题分析:解:(1)BM+DN=MN成立. 如下图,在MB的延长线上,截得BE=DN,连接AE 易证:△ABE≌△ADN ∴AE=AN. ∴∠EAB=∠NMD. ∴∠BAD=90°,∠NAM=45° ∴∠BAM+∠NMD=45°. ∴∠EAB+∠BAM=45°. ∴∠EAM=∠NAM 又AM为公共边, ∴△AEM≌△ANM ∴ME=MN. ∴ME=BE+BM=DN+BM. ∴DN+BM=MN. (2)
DN-BM=MN. 理由如下: 如图,在DC上截取DF=BM,连接AF. ∵AB=AD,∠ABM=∠ADF=90°, ∴△ABM≌△ADF (SAS) ∴AM=AF,∠MAB=∠FAD. ∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°, 即∠MAF=∠BAD=90°. 又∠MAN=45°, ∴∠NAF=∠MAN=45°. ∵AN=AN, ∴△MAN≌△FAN. ∴MN=FN, 即 MN=DN-DF=DN-BM; 点评:本题难度骄傲大,主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点,运用截长补短法构造全等三角形是关键.也可运用图形的旋转性质构造全等三角形. |
举一反三
如图a,ABCD是长方形纸带,∠DEF=23°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是_________°. |
如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=9,动点Q沿着C→D→A→B的方向运动至点B停止,设点Q运动的路程为x,△QCB的面积为y.
(1)当点Q在CD上运动时,求y与x的关系式; (2)当点Q在AD上运动时,△QCB的面积改变了吗?请说明理由. (3)说一说y是怎样随着x的变化而变化的? |
四边形ABCD∽四边形,他们的面积之比为36∶25,若四边形的周长为15cm,则四边形ABCD的周长为 cm。 |
如图,在□ABCD中,E、F分别在边BA、DC的延长线上,已知AE=CF,P、Q分别是DE和FB的中点,求证:四边形EQFP是平行四边形. |
如图所示,ABCD的周长为l6cm,对角线AC与BD相交于点O,交AD于E,连接CE,则△DCE的周长为( )
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