矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对称点分别是点E、F,点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H
题型:不详难度:来源:
矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对称点分别是点E、F,点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H.若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形,则PQ的长为 . |
答案
2.8。 |
解析
由矩形ABCD中,AB=4,AD=3,可得对角线AC=BD=5。 依题意画出图形,如图所示。
由轴对称性质可知, ∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2(∠PAB+∠PAD)=180°。 ∴点A在菱形EFGH的边EF上.同理可知,点B、C、D均在菱形EFGH的边上。 ∵AP=AE=AF,∴点A为EF中点.同理可知,点C为GH中点。 连接AC,交BD于点O,则有AF=CG,且AF∥CG, ∴四边形ACGF为平行四边形。 ∴FG=AC=5,即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长。 ∴EF=FG=5。 ∵AP=AE=AF,∴AP=EF=2.5。 ∵OA=AC=2.5,∴AP=AO,即△APO为等腰三角形。 过点A作AN⊥BD交BD于点N,则点N为OP的中点。 由S△ABD=AB•AD=AC•AN,可求得:AN=2.4。 在Rt△AON中,由勾股定理得:,∴OP=2ON=1.4。 同理可求得:OQ=1.4。 ∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8。 |
举一反三
如图,矩形ABCD中,AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1,第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…,第n次平移将矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位,得到矩形AnBnCnDn(n>2).
(1)求AB1和AB2的长. (2)若ABn的长为56,求n. |
如图,在□ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在点B′,C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连接DG,B′G。
求证:(1)∠1=∠2 (2)DG=B′G |
如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:(1)△AFD≌△CEB; (2)四边形ABCD是平行四边形. |
如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别为PB、PC的中点,ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。若S=2,则S1+S2= 。 |
已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,将该纸片叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E、F是该矩形边界上的点),折叠后点A落在A′处,给出以下判断: ①当四边形A,CDF为正方形时,EF= ②当EF=时,四边形A′CDF为正方形 ③当EF=时,四边形BA′CD为等腰梯形; ④当四边形BA′CD为等腰梯形时,EF=。
其中正确的是 (把所有正确结论序号都填在横线上)。 |
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