如图1,正方形ABCD中,点E、F分别在边DC、AD上,且AE⊥BF于G.(1)求证:BF=AE;(2)如图2,当点E在DC延长线上,点F在AD延长线上时,(1
题型:不详难度:来源:
如图1,正方形ABCD中,点E、F分别在边DC、AD上,且AE⊥BF于G.
(1)求证:BF=AE; (2)如图2,当点E在DC延长线上,点F在AD延长线上时,(1)中结论是否成立(直接写结论); (3)在图2中,若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点,且AF:AD=4:3,求S四边形MNPQ: S正方形ABCD |
答案
(1)∵正方形ABCD ∴AD=AB,∠ADC=∠DAB=90° ∴∠DAE+∠ABG=90° ∵AE⊥BF ∴∠ABG+∠GAB=90° ∴∠DAE=∠ABG ∴△ADE≌△BAF ∴BF=AE; (2)结论成立; (3)25:36 |
解析
试题分析:(1)根据正方形的性质及同角的余角相等即可证得△ADE≌△BAF,问题得证; (2)证法同(1); (3)先根据三角形的中位线定理证得MNPQ为正方形,再舍AD=3a,则BF=5a,MQ=,再根据正方形的面积公式即可得到结果. (1)∵正方形ABCD ∴AD=AB,∠ADC=∠DAB=90° ∴∠DAE+∠ABG=90° ∵AE⊥BF ∴∠ABG+∠GAB=90° ∴∠DAE=∠ABG ∴△ADE≌△BAF ∴BF=AE; (2)结论成立; (3)∵点M、N分别为四边形AFEB四条边AF、EF的中点, ∴MN∥AE且MN=AE, 同理可证:MQ∥BF且MQ=BF,PQ∥AE且PQ=AE,NP∥BF且NP=BF ∵AE=BF ∴MN=MQ=PQ=NP ∴四边形MNPQ是菱形 ∵AE⊥BF ∴∠MQP=90° ∴四边形MNPQ是正方形 设AD=3a,则BF=5a ∴MQ= ∴S四边形MNPQ:S正ABCD=MQ2:AD2=()2 :(3a)2=25:36. 点评:解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. |
举一反三
下列命题中正确的有( ). (1)两条对角线相等的四边形是矩形; (2)有一组邻边相等的平行四边形是菱形; (3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形; (4)两内角相等的梯形是等腰梯形. |
如图,矩形的对角线和相交于点,过点的直线分别交和于点E、F,AB=2,BC=4,则图中阴影部分的面积为 . |
如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则图中相等的线段共有( )
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