①(1)证明: ∵E、F分别是AD、BD中点, ∴EF∥AB,EF=AB, 同理GH∥AB,GH=AB, ∴EF=GH,EF∥GH,∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当四边形ABCD满足AB=CD时,四边形EFGH是菱形. 证明:F、G分别是BD、BC中点,所以GF=CD, ∵AB=CD,∴EF=GF 又∵四边形EFGH是平行四边形, ∴四边形EFGH是菱形.
②证明:∵∠ACB=90°,Rt△ADC中,∠1+∠2=90°, ∵AD⊥CF,在Rt△EDC中,∠3+∠2=90°,得:∠1=∠3. ∵FB∥AC,∠ACB=90°,∴∠FBC=90°,得:△FBC是直角三角形. ∵AC=BC,∠1=∠3,△FBC是直角三角形 ∴Rt△ADC≌Rt△FBC. ∴CD=FB,已知CD=DB,可得:DB=FB. 由AC=BC、∠ACB=90°,可得:∠4=45°,AB是∠CBF平分线. 所以,AB垂直平分DF(等腰三角形中的三线合一定理). |