已知:如图,O正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG.(1)求证:△BCE

已知:如图,O正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG.(1)求证:△BCE

题型:不详难度:来源:
已知:如图,O正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)OG与BF有什么数量关系?证明你的结论;
(3)若GE•GB=4-2


2
,求正方形ABCD的面积.
答案
(1)证明:在△BCE与△DCF中,





BC=DC
∠BCE=∠DCF=90°
CE=CF

∴△BCE≌△DCF.

(2)OG=
1
2
BF.
理由如下:∵△BCE≌△DCF,
∴∠CEB=∠F,
∵∠CEB=∠DEG,
∴∠F=∠DEG,
∵∠F+∠GDE=90°,
∴∠DEG+∠GDE=90°,
∴BG⊥DF,
∴∠BGD=∠BGF,
又∵BG=BG,∠DBG=∠FBG,
∴△BGD≌△BGF,
∴DG=GF,
∵O为正方形ABCD的中心,
∴DO=OB,
∴OG是△DBF的中位线,
∴OG=
1
2
BF.

(3)设BC=x,则DC=x,BD=


2
x

由(2)知,△BGF≌△BGD,
∴BF=BD,
∴CF=(


2
-1)x,
∵∠DGB=∠EGD,∠DBG=∠EDG,
∴△GDB△GED,
GD
GE
=
GB
GD

∴GD2=GE•GB=4-2


2

∵DC2+CF2=(2GD)2
∴x2+(


2
-1)2x2=4(4-2


2
),
(4-2


2
)x2=4(4-2


2
),
x2=4,
正方形ABCD的面积是4个平方单位.
举一反三
如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠CFA=(  )
A.30°B.45°C.22.5°D.135°

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如图,正方形ABCD中,E是CD的中点,AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F,交BC于P,连接EF,交BC于G,求EP:PC的值.
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如图,P是正方形ABCD内一点,将△APB绕点B顺时针旋转能与△CP′B重合,若PP′=2,则BP′=______.
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如图,正方形ABCD中,E、F、G、H分别是各边中点,如果阴影部分的面积是5cm2,那么AB的长度是______cm.
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将两个大小一样的正方形ABCD和正方形CDEF如图放置,点B、C、F在同一直线上,BF=12,再将一直角三角板的直角顶点放置在D点上,DP交AB于点M,DQ交BF于点N.
(1)求证:△DBM≌△DFN;
(2)将三角板DPQ的直角顶点绕点D旋转时,四边形DMBN的面积是否变化?如果不变,请简要说明理由并求出它的面积;
(3)分别延长正方形的边CB和边EF,使它们的延长线分别与直角三角板的两边DP、DQ(或它们的延长线)交于点G和点H,试探究下列问题:
①线段BG与FH相等吗?说明你的理由;
②当线段FN的长是方程x2+x-12=0的一根时,试求出
NG
NH
的值.
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