如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．（1）DM与MN相等吗？试说明理由．（2）若将上述

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如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．
（1）DM与MN相等吗？试说明理由．
（2）若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余条件不变，如图（2），则DM与MN相等吗？为什么？

答案

（1）过N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，

∵HB∥NF，MN⊥DM，
∴可得∠BMH=∠MDA，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴

BH

MB

=

AM

DA

=

1

2

=

NF

MF

，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=

1

2

DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）结论“DM=MN”仍成立．
证明：
在AD上截取AF"=AM，连接F"M．
∵DF"=AD-AF"，MB=AB-AM，AD=AB，AF"=AM，
∴DF"=MB，
∵∠F"DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F"DM=∠BMN，
∵AF′=AM，∠A=90°，
∴∠AF′M=∠AMF′=45°，
∴∠DF′M=135°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBE=

1

2

∠CBE=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DF′M=∠MBN，
在△DF"M和△MBN中

∠F′DM=∠BMN DF′=BM ∠DF′M=∠MBN

，
∴△DF"M≌△MBN．
∴DM=MN．