如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N，求证：（1）BM=EF； （2）2CN=DN。

题型：重庆市期中题难度：来源：

如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N，求证：
（1）BM=EF；
（2）2CN=DN。

答案

解：（1）证明：过E点作EK⊥BC垂足为K ，过M作MH⊥BC垂足为H  
∴EK∥AH
∵EF是BM的垂直平分线  
∴E是BM中点，
∴EK=AH=
∵M是AD中点    
∴AM=    
∴EK=AM            
∵四边形ABCD是正方形   
∴∠ABC=
∵EF是BM的垂直平分线  
∴∠BEF=
∴∠ABM+∠MBF=，∠MBF+∠EFB=
∴∠ABM=∠EFB                              
在△ABM和△EFK中，AM=EK，∠ABM=∠EFB，∠A=∠EKF=
∴△ABMC≌△EFK (AAS)                      
∴AB= EF                                      
（2）设正方形边长为单位1，CF=x，HF=          
则BF=MF=1+x，在Rt△MHF中，
由勾股定理得：    
                  
∴   。