如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,连接BM,BM的垂直平分线交BC的延长线于F,连接MF交CD于N,求证:(1)BM=EF; (2)2CN=DN。

如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,连接BM,BM的垂直平分线交BC的延长线于F,连接MF交CD于N,求证:(1)BM=EF; (2)2CN=DN。

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如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,连接BM,BM的垂直平分线交BC的延长线于F,连接MF交CD于N,求证:
(1)BM=EF;
(2)2CN=DN。
答案
解:(1)证明:过E点作EK⊥BC垂足为K ,过M作MH⊥BC垂足为H  
∴EK∥AH
∵EF是BM的垂直平分线  
∴E是BM中点,
∴EK=AH=
∵M是AD中点    
∴AM=    
∴EK=AM            
∵四边形ABCD是正方形   
∴∠ABC=
∵EF是BM的垂直平分线  
∴∠BEF=
∴∠ABM+∠MBF=,∠MBF+∠EFB=
∴∠ABM=∠EFB                              
在△ABM和△EFK中,AM=EK,∠ABM=∠EFB,∠A=∠EKF=
∴△ABMC≌△EFK (AAS)                      
∴AB= EF                                      
(2)设正方形边长为单位1,CF=x,HF=          
则BF=MF=1+x,在Rt△MHF中,
由勾股定理得:    
                  
   。
举一反三
把边长为1的正方形ABCD的对角线AC分成n段,以每一段为对角线作小正方形,则所有小正方形的周长之和为(       )
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如下图,边长为3 的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30 后得到正方形EFCG ,EF 交AD 于点H ,那么DH 的长为(      )
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如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,…,已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…,Sn(n为正整数),那么第n个正方形的面积Sn等于(    )。
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顺次连结对角线互相垂直的等腰梯形四条边中点得到的四边形是[      ]
A.平行四边形      
B.矩形          
C.菱形       
D.正方形
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已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,PB=,下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是    [      ]

A.①③⑤      
B.①②⑤      
C.③④⑤      
D.①③④
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