如图,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M. 探究:线段MD、MF的关系,并加以证明. 说明

如图,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M. 探究:线段MD、MF的关系,并加以证明. 说明

题型:广东省同步题难度:来源:
如图,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M. 探究:线段MD、MF的关系,并加以证明. 说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明(1)的过程后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明
①DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;
②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°(如图),其他条件不变;
③在②的条件下,且CF=2AD.
附加题:将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图),其他条件不变.探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.
答案
解:(1)证明:关系是:MD=MF,MD∥MF
如图,延长DM交CE于点N,连接FD、FN

∵正方形ABCD,
∴AD∥BE,AD=DC,∴∠1=∠2
又∵AM=EM,∠3=∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN,MD=MN
又∵AD=DC,∴DC=NE
又∵正方形CGEF,∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°
又∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°.∴∠DCF=∠NEF=45°
∴△FDC≌△FNE∴FD=FN,∠5=∠6
又∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°
又∵DM=MN=DN,∴M为DN的中点,
∴FM=DN,∴MD=MF,DM⊥MF
思路一:∵四边形ABCD、CGEF是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
CF=EF=EG=CG,∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°,∠FCE=∠FEC=45°
∴∠DCF=∠FEC
思路二: 延长DM交CE于N,
∵四边形ABCD、CGEF是正方形∴AD∥CE,∴∠DAM=∠NEM
又∵∠DMA=∠NME,AM=EM,∴△ADM≌△ENM
思路三:∵正方形CGEF,∴∠FCE=∠FEC=45°
又∵正方形ABCD,
∴∠DCB=90°.∴∠DCF=180°﹣∠DCB﹣∠FCE=45°,∠DCF=∠FEC=45°
(2)选取条件① 证明:如图
∵正方形ABCD,∴AD∥BE,AD=DC,∴∠1=∠2
又∵AD=NE,∠3=∠4, ∴△ADM≌△ENM   ∴MD=MN
又∵AD=DC,∴DC=NE
又∵正方形CGEF,∴FC=FE,∠FCE=∠FEN=45°.
∴∠FCD=∠FEN=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN,∠5=∠6,∴∠DFN=∠CFE=90°
∴MD=MF,MD⊥MF
选取条件② 证明:如图, 延长DM交FE于N

∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE.
∴∠1=∠2
又∵MA=ME,∠3=∠4,
∴△AMD≌△EMN
∴MD=MN,AD=EN.∴AD=DC,∴DC=NE
又∵FC=FE,∴FD=FN
又∵∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD.
选取条件③ 证明:如图, 延长DM交FE于N.
∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE   ∴∠1=∠2
又∵MA=ME,∠3=∠4,
∴△AMD≌△EMN
∴AD=EN,MD=MN.∴CF=2AD,EF=2EN   ∴FD=FN.
又∵∠DFN=90°,
∴MD=MF,MD⊥MF
附加题: 证明:如图
过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△ADM≌△ENM
∴DM=NM,AD=EN.
∵正方形ABCD、CGEF
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,CG∥FE
∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE,
∴△DCF≌△NEF
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°
∴∠DFN=90°.
∴DM=FM,DM⊥FM.

举一反三
如图,在△BEF中,∠BEF=90°,BE=EF,四边形ABCD是正方形,连接DF,G为DF的中点,连接EG、CG.证明:EG=CG,EG⊥CG.
题型:浙江省月考题难度:| 查看答案

A.
B.
C.
D.
题型:江苏中考真题难度:| 查看答案
边长为2cm的正方形,对角线的长是 _________
题型:贵州省月考题难度:| 查看答案
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(1)如图1,是在直线l上找一点P,使得PA+PB最短(画图即可)。
(2)如图2,应用:已知正方形ABCD中,E为AB的中点,在线段BD上找一点P,使得PA+PE的值最小,并说明理由。
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已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90 °,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是[     ]
A.∠D=90°
B.AB=CD
C.AD=BC
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