如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的三

如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的三

题型:陕西省中考真题难度:来源:
如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”。
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_______;
(2)如图②、在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?若不存在,为什么?
答案
解:(1)等腰;(2)如图①,连接BE,画BE的中垂线交BC与点F,连接EF,△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形,
∵折痕垂直平分BE,AB=AE=2,
∴点A在BE的中垂线上,即折痕经过点A,
∴四边形ABFE为正方形,
∴BF=AB=2,
∴F(2,0); (3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF,其面积为4,理由如下:
①当F在边BC上时,如图②所示,
S△BEFS矩形ABCD,即当F与C重合时,面积最大为4;
②当F在边CD上时,如图③所示,
过F作FH∥BC交AB于点H,交BE于K,
∵S△EKF=KF·AH≤HF·AH=S矩形AHFD
S△BKF=KF·BH≤HF·BH=S矩形BCFH
∴S△BEFS矩形ABCD=4,
即当F为CD中点时,△BEF面积最大为4,
下面求面积最大时,点E的坐标,
①当F与点C重合时,如图④所示,
由折叠可知CE=CB=4,
在Rt△CDE中,ED=
∴AE=4-2
∴E(4-2,2),
②当F在边DC的中点时,点E与点A重合,如图⑤所示,
此时E(0,2),
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(4-2,2)。


举一反三
如图,在一方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED。
(1)求证:△BEC≌△DEC:
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠AFE的度数。
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(2)要证明一个四边形是正方形,可先证明四边形是矩形,再证明这个矩形的_____相等;或者先证明四边形是菱形,在证明这个菱形有一个角是_____;
(3)某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2,对此结论,你认为是否正确?若正确,请说明理由;若不正确,请举出一个反例说明。
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A.平行四边形
B.正方形
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D.矩形
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