如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P是BC上的一个动点,PE⊥AB,PF⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为E、F、M,则PE、PF、CM三者间存在

如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P是BC上的一个动点,PE⊥AB,PF⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为E、F、M,则PE、PF、CM三者间存在

题型:不详难度:来源:
如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,P是BC上的一个动点,PE⊥AB,PF⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为E、F、M,则PE、PF、CM三者间存在怎样的数量关系?证明你的结论.
答案
PE+PF=CM.
证明:如图所示,作PN⊥CM,
∵PE⊥AB,CM⊥AB,∴四边形EPNM为矩形,
∴PE=MN,PNAB,
故∠NPC=∠ABC.
由等腰梯形ABCD得∠ABC=∠BCD.
∴∠CPN=∠PCF.
在Rt△CPN和Rt△PCF中,
∠PNC=∠CFP=90°,∠CPN=∠PCF,PC=PC,
∴△CPN≌△PCF,
∴CN=PF,即PE+PF=MN+CN=CM.
解法二:
延长BA、CD交于O,连接PO,
则S△OBC=S△OPB+S△OPC
1
2
OB×PE+
1
2
OC×PF=
1
2
OB×CM,
而由等腰梯形ABCD得:∠ABC=∠DCB,
即OB=OC,
∴PE+PF=CM.
举一反三
如图,梯形ABCD中,ADBC,E是CD的中点,EA⊥AB,且AB=8,AE=6,则梯形ABCD的面积等于(  )
A.12B.24C.48D.96

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如图,梯形ABCD中,ADBC,∠B=80°,∠C=50°,AD=2,BC=5.求腰AB的长.
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如图,已知EF是梯形ABCD的中位线,△DEF的面积为5cm2,则梯形ABCD的面积为______cm2
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如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.
(1)求证:AD=AE;
(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.
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在梯形ABCD中,ADBC,AD=6,BC=11,CD=5,∠B=50°,则∠D为(  )
A.100°B.115°C.120°D.130°
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