(1)①当∠BAC=90°时, ∵∠BAC=2∠ACB, ∴∠ACB=45°, 在△ABC中,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°, ∴∠ACB=∠ABC, ∴AB=AC(等角对等边); ②当∠DAC=15°时, ∠DAB=90°-15°=75°, ∵BD=BA, ∴∠BAD=∠BDA=75°, ∴∠DBA=180°-75°-75°=30°, ∴∠DBC=45°-30°=15°,即∠DBC=15°, ∴∠DBC的度数为15°; ③∵∠DBC=15°,∠ABC=45°, ∴∠DBC=15°,∠ABC=45°, ∴∠DBC:∠ABC=1:3, ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.
(2)猜想:∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同. 证明:如图2,作∠KCA=∠BAC,过B点作BK∥AC交CK于点K,连接DK. ∴四边形ABKC是等腰梯形, ∴CK=AB, ∵DC=DA, ∴∠DCA=∠DAC, ∵∠KCA=∠BAC, ∴∠KCD=∠3, ∴△KCD≌△BAD, ∴∠2=∠4,KD=BD, ∴KD=BD=BA=KC. ∵BK∥AC, ∴∠ACB=∠6, ∵∠BAC=2∠ACB,且∠KCA=∠BAC, ∴∠KCB=∠ACB, ∴∠5=∠ACB, ∴∠5=∠6, ∴KC=KB, ∴KD=BD=KB, ∴∠KBD=60°, ∵∠ACB=∠6=60°-∠1, ∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1, ∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°, ∴∠2=2∠1, ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3.
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