在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上一动点,点Q为边AC上一动点,且∠PDQ=90
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在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上一动点,点Q为边AC上一动点,且∠PDQ=90
题型:不详
难度:
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在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上一动点,点Q为边AC上一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为点F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
答案
(1)
,
;(2)CQ
或CQ
;(3)
或
解析
试题分析:(1)先根据勾股定理求得BC的长,再结合点D为BC的中点可得CD的长,然后证得△ABC∽△DEC,根据相似三角形的性质即可求得结果;
(2)分①当点P在AB边上时,②当点P在AB的延长线上时,根据相似三角形的性质求解即可;
(3)由△BPD∽△EQD可得
,若设BP="x" ,则
,
,可得
,即得∠QPD=∠C,又可证∠PDE=∠CDQ,则可得△PDF∽△CDQ,再分①当CQ=CD时,②当QC=QD时,③当DC=DQ时,三种情况,根据等腰三角形的性质求解即可.
(1)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8
∴BC=10
点D为BC的中点
∴CD=5
可证△ABC∽△DEC
∴
, 即
∴
,
;
(2)①当点P在AB边上时,在Rt△ABC中,∠B+∠C=90°,
在Rt△EDC中,∠DEC+∠C=90°,
∴∠DEC=∠B
∵DE⊥BC,∠PDQ=90°
∴∠PDQ=∠BDE=90°
∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD∽△EQD
∴
,即
,
∴
∴CQ=EC-EQ
;
②当点P在AB的延长线上时,同理可得:
,
∴CQ=EC+EQ
;
(3)∵线段PQ与线段DE的交点为点F,
∴点P在边AB上
∵△BPD∽△EQD
∴
若设BP="x" ,则
,
,可得
∴∠QPD=∠C
又可证∠PDE="∠CDQ"
∴△PDF∽△CDQ
∵△PDF为等腰三角形
∴△CDQ为等腰三角形
①当CQ=CD时,可得
,解得
②当QC=QD时, 过点Q作QM⊥CB于M,
∴
,
∴
,解得
③当DC=DQ时,过点D作DN⊥CQ于N,
∴
,
∴
,解得
(不合题意,舍去)
∴综上所述,
或
.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
举一反三
如果两个相似三角形的一组对应边分别为
和
,且较小三角形的周长为
,则较大三角形的周长为__________
.
题型:不详
难度:
|
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如图,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.
(1) 求证:DE-BF = EF.
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
题型:不详
难度:
|
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把一个正多边形放大到原来的2.5倍,则原图与新图的相似比为________.
题型:不详
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若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为2:3,则他们的面积比为______________ .
题型:不详
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|
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如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,
连结CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F.试问:
(1)图中△APD与哪个三角形全等?并说明理由.
(2)猜想:线段PC、PE、PF之间存在什么关系?并说明理由.
题型:不详
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|
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