试题分析:(1)CD=nDA,当n=1时,CD=DA,据等边三角形ABC的三线合一,可以得出∠BDA=90°,由∠AMD=60°,可得∠EAD=30°, 又∠BAC=60°,可得∠BAE=30°,AE为∠BAC的角平分线.依据三线合一可得BE=EC.容易得AM=2MD,AM=BM.问题得到解决. (2)若n=2,则CD=2DA,△ABC是等边三角形,∠AMD=60°,可证明△BAD≌△ACE,得AD=CE,CD=BE;作辅助线CF∥BD交AE于F,可得===①,==②,观察①②的乘积,可得BM、DM的数量关系. (3)由M为BD中点,可知BM=MD.由∠AMD=60°,△ABC为等边三角形,可得△AMD∽△ACE,△BME∽△BCD,由相似三角形对应边成比例,可得AD=,DC=,运用比例的性质合理变形,问题可求. (1)解:当n=1时,CD=DA, ∵△ABC是等边三角形, ∴BD⊥AC,∠BAC=60°, ∴∠ADM=90°, 又∵∠AMD=60°, ∴∠MAD=30°, ∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°,即∠BAE=∠EAD, ∴AE为△ABC的中线, ∴; 在△AMD中,MD=AM,(30°角所对的直角边等于斜边的一半) ∵∠BAM=∠ABM=30°, ∴AM=BM, ∴. (2)证明: ∠AMD=∠ABD+∠BAE=60° ∠CAE+∠BAE=60° ∴∠ABD=∠CAE 又∵BA=CA,∠BAD=∠ACE=60° ∴△BAD≌△ACE(ASA) ∴AD=CE∴CD=BE 作CF∥BD交AE于F, ∴===①,==②, ∴①×②得=, ∴BM=6DM. (3)解: ∵M为BD中点, ∴BM=MD, ∵△BAD≌△ACE(ASA) ∴AD=CE ∴CD=BE ∵△AMD∽△ACE,△BME∽△BCD ∴AD=③,DC=④, ③•④得CD=AD, ∴n=.
点评:此题为考查三角形中线段的倍数关系,相关知识点的综合应用能力,解题关键在如何作辅助线. |