矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=cm,且tan∠EFC=。(1)求证：△AFB∽△FEC； (2)求矩形ABCD的周长

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矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=cm,且tan∠EFC=。
(1)求证：△AFB∽△FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。

答案

(1)略 (2)36cm

解析

（1）证明：∵∠AFE=90°，∠B=90°，∠C=90°．
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=∠EFC+∠FEC=90°．
∴∠BAF=∠EFC，∠AFB=∠FEC．
∴△AFB∽△FEC．
(2)设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE==5
解得：k=1，
故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm．
（1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得∠BAF=∠CFE，进而可证明△ABF∽△FCE；
（2）利用相似三角形对应边成比例，再利用勾股定理即可得解．