如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,AB=8cm,AD=6cm, BC=10cm。点P从点B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时
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如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,AB=8cm,AD=6cm, BC=10cm。点P从点B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时
题型:不详
难度:
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如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,AB=8cm,AD=6cm, BC=10cm。点P从点B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF从CD出发沿DA方向匀速运动,速度为1 cm/s,且EF与BD交于点Q,连接PE、PF。当点P与点Q相遇时,所有运动停止。若设运动时间为t(s).
(1)求CD的长度
(2)当PE//AB时,求t的值;
(3)①设△PEF的面积为S,求S关于t的函数关系式;
②如图2,当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF中点时,则t的值为
(请直接写出答案)
答案
(1)过点D作DM⊥BC,交BC于点M
∵AD//BC,∠A=90°
∴ DM=AB=8cm,BM=AD=6cm
∴CM="4cm,"
∴CD=
cm
(2)由题意可求BD=10cm,BP=t,
∴DP="10-t" DE=t
∵PE//CD
∴△DPE∽△DBA
∴
即
解得t=
(3)①过点B作BH⊥CD,交于点H,过点P作PG⊥EF,交于点G,
∵BD=BC=10cm,CD=
cm
∴DH=
cm
∴BH=
cm
∵EF//CD 易证, EF=CD=
,DQ=DE=t,
∴QP=BD-BP-DQ=10-2t
可证 △QPG∽△DBH
∴
即
∴PG=
S=
② t=
提示:如图过点P作MN//AB,则PM⊥AD,PN⊥BC
由题意可知∠EPF=90°
通过相似可得PM=
PN=
ME==
NF==
由
可解得t
1
=
,t
2
=
(舍去) (也可用相似法)
解析
(1)过D作BC的垂线,设垂足为M,在Rt△CDM中,由勾股定理即可求得CD的长;
(2)当PE∥CD时,△DPE∽△DBA,可用t表示出DP、DE的长,进而由相似三角形得到的比例线段求得t的值;
(3)①易知BC=BD=10,则△DBC是等腰三角形,由于EF∥CD,易证DE=DQ=t,QP=10-t;利用△QPG∽△DBH求得PG的长,然后求△PEF面积表达式;
②利用相似求出MP、PN、ME、NF的长度,然后利用勾股定律求出t的值.
举一反三
如图,将△ABC的三边分别扩大一倍得到△
(顶点均在格点上),若它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是( ).
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知:正方形ABCD,GF∥BE,求证:EF·AE=BE·EC.
题型:不详
难度:
|
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已知,如图,D为△ABC内一点连接BD、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD,BE、CE交于E,连接DE.
(1)求证:
(2)求证:△DBE∽△ABC.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC与△DEF相似且周长比为2∶5,则△ABC与△DEF的面积比为
.
题型:不详
难度:
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如图,边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60º得PC.
(1)当点P运动到线段OA的中点时, 点C的坐标为
;
(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;
(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长.
题型:不详
难度:
|
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