在边长为10的正方形ABCD中,以AB为直径作半圆O,如图①,E是半圆上一动点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连结DE.(1)当DE=10时,求证:DE与圆O相
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在边长为10的正方形ABCD中,以AB为直径作半圆O,如图①,E是半圆上一动点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连结DE.(1)当DE=10时,求证:DE与圆O相
题型:不详
难度:
来源:
在边长为10的正方形
ABCD
中,以
AB
为直径作半圆
O
,如图①,
E
是半圆上一动点,过点
E
作
EF
⊥
AB
,垂足为
F
,连结
DE
.
(1)当
DE
=10时,求证:
DE
与圆
O
相切;
(2)求
DE
的最长距离和最短距离;
(3)如图②,建立平面直角坐标系,当
DE
=10时,试求直线
DE
的解析式.
答案
(1)证明见解析(2)
(3)
或
解析
(1)证明:连结
,
由题意得,------------1分
,
,
为公共边
∴
∴
-------------------2分
(利用勾股定理逆定理相应给分)
∴
∴
与圆
相切.-------------------3分
(2)当点
运动到与
点重合的位置时,
为正方形
的对角线,所以此时
最长,有:
-----------------4分
当点
运动到线段
与半圆
的交点处时,
最短.
-----------------5分
证明如下:
在半圆
上任取一个不与点
重合的点
,连结
,
.
在
中,∵
即:
,
∵
∴
∵点
是任意一个不与点
重合的点,∴此时
最短. -----------------6分
∴
-------------7分
(3)当点E与点A重合时,DE=DA=10,此时,直线DE的解析式为
y
=10;
---------8分
当点
E
与点
A
不重合时,过点
E
作
GH
⊥
轴,分别交
,
轴于点
,
,连结
.
则四边形
是矩形,且
为圆
的切线
∴
=90°
∴
-----------------------9分
又∵
∴
∽
∴
----------------------10分
设
,则有:
,
得:
,-----------------------11分
解得:
, 即:
----------------12分
又直线
DE
过点
D
(10,10),设直线
解析式为
,则有:
,
解得:
,即:
∴当
时,直线
的解析式为
或
-----------------------14分
以下两种解法涉及高中知识,仅供参考:
另解2:
(1)当点E与点A重合时,DE=DA=10,此时,直线DE的解析式为
y
=10;
(2)当点E与点A不重合时,
,
设直线
且经过点(10,10),代入求得
所以直线DE的解析式为
另解3:
依题意得:点
O
的坐标为(0,5),设直线
DE
的解析式为
由点到直线的距离公式得:
,即
①
直线
DE
过点
D
(10,10),得
②
由①②解得:
,解得
所以直线
DE
的解析式为
(1)如图1,连接OE,OD,由题意得,DE=DA=10,利用(SSS)判定△AOD≌△EOD,从可得∠OED=∠OAD=90°即可.
(2)当点E运动到与B点重合的位置时,如图2,DE为正方形ABCD的对角线,所以此时DE最长,利用勾股定理求得DE,证明当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时,DE最短.然后求得DE=OD-OE即可.
(3)当点E与点A重合时,DE=DA=10,此时,直线DE的解析式为y=10;如图4,当点E与点A不重合时,过点E作GH⊥x轴,分别交AD,x轴于点G,H,连接OE.则四边形AFEG是矩形,且DE为圆O的切线,求证△OFE∽△DGE,利用其对应边成比例,设E(m,n),则有:EF=m,OF=OB-FB=5-n求得即可
举一反三
如图,抛物线
(
a
0)与双曲线
相交于点
A
,
B
. 已知点
A
的坐标为(1,4),点
B
在第三象限内,且△
AOB
的面积为3(
O
为坐标原点).
(1)求实数
a
,
b
,
k
的值;
(2)过抛物线上点
A
作直线
AC
∥
x
轴,交抛物线于另一点
C
,求所有满足△
EOC
∽△
AOB
的点
E
的坐标. (其中点
E
和点
A
,点
C
和点
B
分别是对应点)
题型:不详
难度:
|
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下列四组线段中,不构成比例线段的一组是 ( )
A.1cm, 2cm, 3cm, 6cm
B.2cm, 3cm, 4cm, 6cm,
C.1cm,
cm,
cm,
cm,
D.1cm, 2cm, 3cm, 4cm,
题型:不详
难度:
|
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矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则AB︰BC为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,一条小“鱼”的头部点O的坐标为(0,0),其鱼鳍部位点A的坐标为(3,2).
小题1:请以点O为位似中心,在方格中画出一条大鱼与小鱼成位似图形,且位似比为2;
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题型:不详
难度:
|
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与GF交于点A.
小题1:判断△OGA和△NPO是否相似,并说明理由;
小题2:求过点A的反比例函数解析式;
小题3:若(2)中求出的反比例函数的图象与EF交于B点, 请探索:直线AB与OM的位置关系,并说明理由.
小题4:在GF所在直线上,是否存在一点Q,使△AOQ为等腰三角形.若存在,请直接写出
所有满足要求的Q点坐标.
题型:不详
难度:
|
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