如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC ,AD=2cm,AB=8cm,CD=10cm.(1)求梯形ABCD的周长;(2)动点P从点B出发,以1cm
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如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC ,AD=2cm,AB=8cm,CD=10cm.(1)求梯形ABCD的周长;(2)动点P从点B出发,以1cm
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC ,AD=2cm,AB=8cm,CD=10cm.
(1)求梯形ABCD的周长;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动;过点Q作QF⊥BC于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:
在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 28cm(2) 当t=
或8≤t<10或10<t≤12时,以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形
解析
解:(1)过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2,AB=DE=8
在Rt△DEC中,CE=
=
="6"
∴梯形ABCD的周长= AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.
………3分
(2) ① 当0≤t≤8时,过点Q作QG⊥AB于点G
则AP=8-t,DQ=10-t,AD=2,
∵Rt△CQF∽Rt△CDE
∴CF=
,QF=
,∴PG=
=
,QG=8-
=(8-t)
2
+2
2
=t
2
-16t+68,
PQ
2
=QG
2
+PG
2
=(8-
)
2
+(
)
2
=
若DQ=PD,则(10-t)
2
= t
2
-16t+68,解得:t=8;…………………5分
若DQ=PQ,则(10-t)
2
=
,
解得:t
1
=
,t
2
=
>8(舍去),此时t=
;………6分
②当8<t<10时,PD=DQ=10-t,
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立; ……………………7分
③当t=10时,点P、D、Q三点重合,无法构成三角形;………………………8分
④当10<t≤12时,PD="DQ=" t-10,
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立; ………………………9分
综上所述,当t=
或8≤t<10或10<t≤12时,以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形. ………………………10分
(1)过点D作DE⊥BC于点E,然后求出AD=BE=2,AB=DE=8,在Rt△DEC中,根据CE=
求出CE,即可求出BC的长,从而求得梯形ABCD的周长
(2)(i)当0≤t≤8时,过点Q作QG⊥AB于点G,过点Q作QF⊥CB于点F,根据△CQF∽△CDE得出
,所以CF=
,QF=
,所以PG=t
=
,QG=8-
,然后分别用t表示出PD
2
=t
2
-16t+68,PQ
2
=
+64,若DQ=PD,则(10-t)
2
=t
2
-16t+68,若DQ=PQ,则(10-t)
2
=
+64,最后解方程即可;
(ii)当8<t<10时,PD=DQ=10-t,此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立;而当t=10时,点P、D、Q三点重合,无法构成三角形,当10<t≤12时,PD="DQ=" t-10,此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立,从而得出最后答案;
举一反三
如图,P是
的边AC上的一点,连结BP,则下列条件中不能判定
∽
的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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如图所示,
AB//CD,∠ACD=
.
⑴用直尺和圆规作
∠C
的平分线
CE
,交
AB
于
E
,并在
CD
上取一点
F
,使
AC
=
AF
,再连接
AF
,交
CE
于
K
;(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
⑵依据现有条件,直接写出图中所有相似的三角形﹒(图中不再增加字母和线段,不要求证明)
题型:不详
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|
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如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,点D在⊙O上,AD⊥AB于点A, AD与 BC交于点E,F在DA的延长线上,且AF=AE. (1)求证:BF是⊙O的切线; (2)若AD=4,
,求BC的长.
题型:不详
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如上图,长方形ABCD中,AB=4,BC=3,将其沿直线MN折叠,使点C与点A重合,则CN的长为( ).
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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如图,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是关于x的方程x
2
﹣14x+4(AB+2)=0的两个根(OB>OA),P是直线l上A、B两点之间的一动点(不与A、B重合),PQ∥OB交OA于点Q
小题1:求tan∠BAO的值
小题2:若S
△
PAQ
=
S
四边形
OQPB
时,请确定点P在AB上的位置,并求出线段PQ的长;
小题3:当点P在线段AB上运动时,在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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