(本题满分14分)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD

(本题满分14分)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD

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(本题满分14分)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.
⑴如图②,若M为AD边的中点,①△AEM的周长=____    _cm;②求证:EP=AE+DP;

⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.
答案
⑴①6………………………………………………………………………………2分
②证明:取EP中点G,连接MG,在梯形AEPD中
∵M、G分别为AD、EP的中点
……………………………………………………4分
由折叠,得∠EMP=∠B=90°
又G为EP的中点
∴MG=EP………………………………………………………………6分
∴EP="AE+DP" ……………………………………………………………7分
⑵△PDM的周长保持不变 ……………………………………………………8分
证明:设AM=xcm,则DM=(4-x)cm …………………………………9分
Rt△EAM中,由
…………………………………………………10分
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分
………………………………………………………13分

……………………………………14分
∴△PDM的周长保持不变.
解析

举一反三
(本题14分)如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AD的长;
(2)设CP=x, △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式,并求自变量的取值范围;
(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.
 
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如图所示,将矩形沿折叠,使点恰好落在处,以为边作正方形,延长,使,再以为边作矩形

(1). (2分)试比较的大小,并说明理由.
(2). (1分)令,请问是否为定值?若是,请求出的值;若不是,请说明理由.为定值.
(3). (3分)在(2)的条件下,若上一点且,抛物线经过两点,请求出此抛物线的解析式.
(4). (4分)在(3)的条件下,若抛物线与线段交于点,试问在直线上是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似?若存在,请求直线轴的交点的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知,且,则b=        .
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如图所示,要设计一座1m高的抽象人物雕塑,使雕塑的上部(腰以上)AC与下部(腰以下)BC的高度比,等于下部与全部(全身)AB的高度比,雕塑的下部应设计为多高?

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(本题满分8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
 (1)求证:△ABD为等腰三角形;
(2)求证:AC·AF=DF·FE

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