如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠C

如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠C

题型:不详难度:来源:
如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:
①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,
其中正确的有(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个

答案
C
解析

试题分析:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE=AB,
∵AD=AB,
∴AE=AD,
又∠ABE=∠AHD=90°
∴△ABE≌△AHD(AAS),
∴BE=DH,
∴AB=BE=AH=HD,
∴∠ADE=∠AED=(180°﹣45°)=67.5°,
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,
∴∠AED=∠CED,故①正确;
∵∠AHB=(180°﹣45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等),
∴∠OHE=∠AED,
∴OE=OH,
∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°,
∴∠DOH=∠ODH,
∴OH=OD,
∴OE=OD=OH,故②正确;
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°,
∴∠EBH=∠OHD,
又BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF(ASA),
∴BH=HF,HE=DF,故③正确;
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,
∴BC-CF=(CD+HE)-(CD-HE)=2HE,所以④正确;
∵AB=AH,∠BAE=45°,
∴△ABH不是等边三角形,
∴AB≠BH,
∴即AB≠HF,故⑤错误;
综上所述,结论正确的是①②③④共4个.
故选C.
举一反三
在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°,P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点G在BC边上时,易证:PG=PC.(不必证明)
(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给与证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明).

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已知三角形两边长分别为3和8,则该三角形第三边的长可能是(  )
A.5B.10C.11D.12

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如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD=(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°

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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度数;
(2)延长AC至E,使CE=AC,求证:DA=DE.

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如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是( )
 
A.45°B.54°C.40°D.50°

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