已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.(1)如图1,当CB与CE在同一直线上

已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.(1)如图1,当CB与CE在同一直线上

题型:不详难度:来源:
已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.

(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.
答案
(1)延长AB交CF于点D,证明BM为△ADF的中位线即可。
(2)作辅助线,推出BM、ME是两条中位线。
(3)作辅助线,推出BM、ME是两条中位线:BM=DF,ME=AG;然后证明△ACG≌△DCF,得到DF=AG,从而证明BM=ME
解析

分析:(1)如图1,延长AB交CF于点D,证明BM为△ADF的中位线即可。
(2)如图2,作辅助线,推出BM、ME是两条中位线。
(3)如图3,作辅助线,推出BM、ME是两条中位线:BM=DF,ME=AG;然后证明△ACG≌△DCF,得到DF=AG,从而证明BM=ME。
解:(1)证明:
如图1,延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,

∴AB=BC=BD。
∴点B为线段AD的中点。
又∵点M为线段AF的中点,
∴BM为△ADF的中位线。
∴BM∥CF。
(2)如图2,延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形,

∴AB=BC=BD=a,AC=AD=a,
∴点B为AD中点,又点M为AF中点。
∴BM=DF。
分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=a。
∴点E为FG中点,又点M为AF中点。
∴ME=AG。
∵CG=CF=a,CA=CD=a,∴AG=DF=a。
∴BM=ME=
(3)证明:如图3,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,

∴AB=BC=BD,AC=CD。
∴点B为AD中点。
又点M为AF中点,∴BM=DF。
延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=EG,CF=CG。
∴点E为FG中点。
又点M为AF中点,∴ME=AG。
在△ACG与△DCF中,∵
∴△ACG≌△DCF(SAS)。
∴DF=AG,∴BM=ME。
举一反三
如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,∠A=30º,∠C=90º,将∠A沿DE折叠,使点A与点B重合,则折痕DE的长为(     )
A.1B.C.D.2

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△ABC的三边长分别为、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=3:4:5;③;④,其中能判断△ABC是直角三角形的个数有(     )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90º,AE∥CD交BC于E,O是AC的中点,AB=,AD=2,BC=3,下列结论:①∠CAE=30º;②AC=2AB;③S△ADC=2S△ABE;④BO⊥CD,其中正确的是(     )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

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如图所示,在△ABC中,点D是BC延长线上的点,点F是AB延长线上的点.的平分线交BA延长线于点E,的平分线交AC延长线于点G.若CE =" BC" = BG,则的度数      度.

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如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E.

(1)若∠ADC+∠ABC=180°,求证:AD+AB =2AE;
(2)若AD+AB =2AE,求证:CD=CB.
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