如图所示,点A,F,C,D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC. (1)求证:四边形BCEF是平行四边形;(2)若

如图所示,点A,F,C,D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC. (1)求证:四边形BCEF是平行四边形;(2)若

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如图所示,点A,F,C,D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
 
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形.
答案
(1)由AF=DC可得AC=DF,再有AB=DE,∠A=∠D即可证得△ABC≌DEF,即得BC=EF,∠ACB=∠DFE,则可得BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形;(2)
解析

试题分析:(1)由AF=DC可得AC=DF,再有AB=DE,∠A=∠D即可证得△ABC≌DEF,即得BC=EF,∠ACB=∠DFE,则可得BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形;
(2)连接BE,交CF与点G,由四边形BCEF是平行四边形,可知当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,先根据勾股定理求得AC的长,证得△ABC∽△BGC,根据相似三角形的性质可得CG的长,从而可以求得结果.
(1)∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF
在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌DEF(SAS),
∴BC=EF,∠ACB=∠DFE,
∴BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形;
(2)连接BE,交CF与点G,

∵四边形BCEF是平行四边形,
∴当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,
∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴AC==5,
∵∠BGC=∠ABC=90°,∠ACB=∠BCG,
∴△ABC∽△BGC,
=,即=
∴CG=
∵FG=CG,
∴FC=2CG=
∴AF=AC﹣FC=5﹣=
∴当AF=时,四边形BCEF是菱形.
点评:特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识,贯穿于整个初中数学的学习,与各个知识点联系极为容易,是中考的热点.
举一反三
有两边相等的三角形的两边长为3cm,5cm,则它的周长为      (   )
­
A.8cm­B.11cm­C.13cm­D.11cm或13cm

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如图,点B和点C分别为∠MAN两边上的点,AB=AC.

(1)按下列语句画出图形:
① AD⊥BC,垂足为D;
② ∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E
③ 连结BE.
(2)在完成(1)后不添加线段和字母的情况下,请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形:        ≌                         ;并选择其中的一对全等三角形予以证明.
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如图是无锡某比赛场馆的平面图,根据距离比赛场地的远近和视角的不同,将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区.其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°,并且距场地边缘MN的距离不超过15米的区域划分为A票区,B票区(如图1所示),剩下的为C票区.

(1)请你利用尺规作图,在观赛场地中,作出A票区所在的区域(只要求作出图形,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)如果每个座位所占的平均面积是1.2平方米,请估算A票区有多少个座位;
(3)为提高B区观众的观赛效果,举办方将B区用两个大型的支柱AP、AC撑起一定的角度,其横截面如图2所示.若AB=10米,∠B=30°,∠CPA=∠CAD=75°,求CP的长度.(结果保留根号)
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已知三角形两边为3和5,且周长为偶数,则第三边为              
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如图,点G是△ABC的三条中线的交点,AG⊥GC,AC=4,那么BG的长为 ___________.
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