已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连结AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”. 那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥
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已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连结AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”. 那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥聪明才智,解决以下问题: (1) 在图1中,请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系,并说明理由;
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103064132-80769.png) (2)仔细观察,在图2中“8”字形”的个数 个; (3)在图2中,若∠D=400,∠B=360,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论,试求∠P的度数;
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103064132-56582.png) (4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)。 |
答案
(1)∠A+∠D=∠C+∠B(2)6个(3)45°(4)2∠P=∠D+∠B |
解析
(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC, 2分 ∴∠A+∠D=∠C+∠B; (2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”; ②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”; ③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”; ④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”; ⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”; ⑥线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”; 故“8字形”共有6个; 2分 (写到3个得1分) (3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,① ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P, ∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB, ①+②得: ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P, 即2∠P=∠D+∠B, 又∵∠D=50°,∠B="40°" ∴2∠P=50°+40°, ∴∠P=45°; 3分 (4)关系:2∠P=∠D+∠B. 2分 (1)根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B; (2)根据“8字形”的定义,仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个; (3)先根据“8字形”中的角的规律,可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②,再根据角平分线的定义,得出∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,将①+②,可得2∠P=∠D+∠B,进而求出∠P的度数. (4)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求证 |
举一反三
一个多边形截去一个内角后,形成另一个多边形的内角和是2340°,则原多边形的边数是( ▲ )A.14 | B.16 | C.14或16 | D.14,15或16 |
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如图,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形,那么展开后三角形的周长是 (▲ )
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103064126-69252.png) A.2+![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103064126-49131.png) | B.2+2![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103064126-49131.png) | C.12 | D.18 |
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如图,D、E分别是AB、AC中点,现测得DE的长为50米,则池塘的宽BC是___▲________米.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103064123-13716.png) |
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是___________ ▲________________ |
已知:在△ABC中,∠A = 60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件. 现有下面三种说法: ① 如果添加条件“AB = AC”,那么△ABC是等边三角形; ② 如果添加条件“tanB = tanC”,那么△ABC是等边三角形; ③ 如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形. 上述说法中,正确的说法有 (A)3个; (B)2个; (C)1个; (D)0个. |
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