如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点，求证：PA＋PB＋PC＞AB＋AC．

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点，求证：PA＋PB＋PC＞AB＋AC．

答案

证明：以AC为边向外作正△ACE，则E在BA延长线上，
且BE＝AB＋AC，再以AP为边作正△APQ，
使B、Q位于AP两旁，连结QE
在△APC与△AQE中，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠1＝60°
∴∠2＝∠3，又∵AP＝AQ，AC＝AE，
∴△APC≌△AQE，∴QE＝PC，
∵BP＋PQ＋QE＞BE，∴BP＋AP＋CP＞AB＋AC

解析

把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′，再由图形旋转的性质可得出△APP′为等边三角形，再由∠BAC=120°可知∠BAC′=120°+60°=180°、即B，A，C′共线，根据三角形的三边关系即可得出结论．
解：把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′，如图

∴∠CAC′=∠PAP′=60°，AC=AC′，AP=AP′，PC=P′C′，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAC′=120°+60°=180°，
即B，A，C′共线，
∴BC′＜BP+PP′+P′C，
即AB+AC＜AP+BP+CP．