(20分)已知△ABC中,∠A>∠B>∠C,且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数,面积也为整数,求△ABC面积的最小值.
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(20分)已知△ABC中,∠A>∠B>∠C,且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数,面积也为整数,求△ABC面积的最小值. |
答案
记BC=a,CA=b,AB=c. 如图,作∠BAC的平分线AD,则∠BAD=∠DAC=∠B, ∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.
故△ACD△BCA.于是,b/a=CD/b.① 又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而,= =.② 由式①、②得=. 故a2=b(b+c). 若(b,c)=d,则由式①知d|a,故不妨设(b,c)=1.于是,可令 b=m2,b+c=n2.则a=mn,c=n2-m2. 由∠A>∠B>∠C,知a>b>c,即mn>m2>n2-m2. 故m<n< m.③ 又m、n为正整数,从而, m-m>1,即m> +1.④ 设△ABC的面积为S,由海伦公式知 S=n(n+m)(n-m)·. 由式④知m≥3.又由式③容易验证: 当3≤m≤7时,只有m=5时,n=6, =8(有理数),此时, S=14×6×11×1×8=132. 下证当m≥8,n≥9时,S>162. 由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m- m)=(6-3)m2>(6-4)m2=(2-)2m2, n(n+m)(n-m)>n(1+n)×1= (2+ )n2. 由式⑤知 S>14×12(2+ 2)n2(2- 2)m=14n2 则当m≥8,n≥9时,有S>162. 故S的最小值为132,此时,m=5,n=6.所以,a=30,b=25,c=11时,△ABC 面积最小,最小值为132. |
解析
略 |
举一反三
(25分)已知G是△ABC内任一点,BG、CG分别交AC、AB于点E、F. 求使不等式S△BGF·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值. |
如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AF为△ABC的角平分线,分别过点C、B作AF的垂线,垂足分别为E、D.以下结论:①CE=DE=BD;②AF=2BD;③CE+EF=AE;④=.其中结论正确的序号是
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(本题满分6分)已知:如图,E为BC上一点,AC∥BD,AC=BE,BC=BD. 求证:AB=DE. |
下列哪组数能作为直角三角形的三边长( )A.9,12,15 | B.4,4,8 | C. | D.12,35,36 |
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已知一个多边形的内角和与外角和的比是2∶1,则它的边数为( ) |
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