已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
题型:江苏省期末题难度:来源:
已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点. (1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN. |
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答案
(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAE=∠CAD, ∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABE≌△ACD, ∴BE=CD. ②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD, ∵M、N分别是BE,CD的中点, ∴BM=CN. 又∵AB=AC, ∴△ABM≌△ACN. ∴AM=AN, 即△AMN为等腰三角形. (2)解:(1)中的两个结论仍然成立. (3)证明:在图②中正确画出线段PD, 由(1)同理可证△ABM≌△ACN, ∴∠CAN=∠BAM ∴∠BAC=∠MAN. 又∵∠BAC=∠DAE, ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC. ∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形. ∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形, ∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM, ∴△PBD∽△AMN. |
举一反三
如图,已知:AB=AC,BD=CD,E为AD上一点,求证: (1)△ABD∽△ACD; (2)∠BED=∠CED. |
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如图1和图2,∠ACB=90°,AC=BC,BD⊥DE,AE⊥DE,垂足分别为D、E. (1)图1中,①证明:△ACE∽△CBD; ②若AE=a,BD=b,计算△ACB的面积. (2)图2中,若AE=a,BD=b,(b>a)计算梯形ADBE的面积. |
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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,对角线BD⊥DC,△ABD与△BCD相似吗?为什么? |
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如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F. (1)求证:△ABE∽△DEF; (2)求EF的长. |
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如图,小明同学将一个矩形的纸片ABCD折叠,A与C重合,折痕为EF,折痕EF与对角线AC相交于点O,若已知AB=8cm,BC=6cm,你能求出BE的长吗? |
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