(1)过P作PQ⊥BC于Q, ∵矩形ABCD, ∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC. ∴PQ=AB=. ∵△PEF是等边三角形, ∴∠PFQ=60°. 在Rt△PQF中sin60°=, ∴PF=2. ∴△PEF的边长为2.
(2)方法一:△ABC∽△CDA. 理由:∵矩形ABCD, ∴AD∥BC, ∴∠1=∠2, ∴∠B=∠D=90°, ∴△ABC∽△CDA. 方法二:△APH∽△CFH. 理由:∵矩形ABCD, ∴AD∥BC, ∴∠2=∠1, 又∵∠3=∠4, ∴△APH∽△CFH.
(3)猜想:PH与BE的数量关系是:PH-BE=1, 证法一:在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴tan∠1==. ∴∠1=30°. ∵△PEF是等边三角形, ∴∠2=60°,PF=EF=2. ∵∠2=∠1+∠3, ∴∠3=30°. ∴∠1=∠3. ∴FC=FH. ∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3,FC=FH,EF=2, ∴BE+FC=3-2=1, ∴PH-BE=1. 证法二:在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴tan∠1==. ∴∠1=30°. ∵△PEF是等边三角形,PE=2, ∴∠2=∠4=∠5=60°. ∴∠6=90°. 在Rt△CEG中,∠1=30°, ∴EG=EC,即EG=(3-BE). 在Rt△PGH中,∠7=30°, ∴PG=PH. ∴PE=EG+PG=(3-BE)+PH=2. ∴PH-BE=1. 证法三:在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴tan∠1==,AC2=AB2+BC2∴∠1=30°,AC=2. ∵△PEF是等边三角形, ∴∠4=∠5=60°.(3分) ∴∠6=∠8=90°. ∴△EGC∽△PGH, ∴=. ∴=① ∵∠1=∠1,∠B=∠6=90°, ∴△CEG∽△CAB. ∴=即=. ∴EG=(3-BE)② 把②代入①得,=. ∴PH-BE=1.
|