已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F分别是AB和BC边上的点。（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC，若

题型：四川省中考真题难度：来源：

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F分别是AB和BC边上的点。
（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC，若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积S_梯形ABCD的值；
（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系写出你的结论并证明之。

答案

解：（1）由题意，有△BEF≌△DEF，
∴BF=DF
如图，过点A作AG⊥BG于点G，则四边形AGFD是矩形，
∴AG=DF，GF=AD=4，
在Rt△ABG和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AG=DF，
∴Rt△ABG≌Rt△DCF（HL）
∴BG=CF
∴BG=（BC-GF）=（8-4）=2，
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）·DF=×（4+8）×6=36；
（2）猜想：CG=k·BE（或BE=CG）
证明：如图，过点E作EH∥CG，交BC于点H，
则∠FEH=∠FGC，
又∠EFH=∠GFC，
∴△EFH∽△GFC，
∴，
而FG=k·EF，即，
∴
即CG=k·EH
∵EH∥CG，
∴∠EHB=∠DCB，
而ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠DCB，
∴∠B=∠EHB，
∴BE=EH，
∴CG=k·BE。