已知:如图,边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O,点D在上运动,但与A、C两点不重合,连接AD并延长交BC的延长结于P。(1)则⊙O的半径为_________;

已知:如图,边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O,点D在上运动,但与A、C两点不重合,连接AD并延长交BC的延长结于P。(1)则⊙O的半径为_________;

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已知:如图,边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O,点D在上运动,但与A、C两点不重合,连接AD并延长交BC的延长结于P。
(1)则⊙O的半径为_________
(2)设AD为x,AP为y,写出y与x的函数关系式y=_________,自变量x的取值范围为_________
(3)D点在运动过程中是否存在这样的位置,使得△BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形?若存在,请你求出此时AD的值,若不存在,请说明理由。
答案

解:(1)过O作OOE⊥于E,连接OA
在Rt△AEO中,∠EAO=30°
AE=

∴OA=2
(2)连接CD,则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°,∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP

∴AC2=AD·AP
∴y==(0<x<2
(3)假设D点在运动的过程中存在这样的位置,使得△DBP成为以DB,DP为腰的等腰三角形,那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°,∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∵CD⊥BP
∴DB是圆的直径,BD=4,DP=4
∵DP=AP﹣AD=y﹣x=﹣x=4
即x2+4x﹣12=0
∵△=42﹣4 ×(﹣12)=64>0
∴关于x的方程x2+4x﹣12=0有两个不相等的实根,说明假设成立
∴x1=2,x2=﹣6(线段不能为负,舍去)
∴D点在运动的过程中存在这样的位置:即当AD=2时,△BDP成为以BD,PD为腰的等腰三角形.


举一反三
已知,等腰△ABC内接⊙O,顶角为120°,⊙O的半径为cm,则底边BC=_________cm。
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如下图是某宾馆大厅到二楼的楼梯截面图,已知BC=6米,AB=9米,中间平台DE与地面AB平行,且DE的长度为2米,DM、EN为平台的两根支柱,DM、EN垂直于AB,垂足分别为M、N,∠EAB=30 °,∠CDF=45 °,楼梯宽度为3米。
(1)若要在楼梯上(包括平台DE)铺满地毯,则地毯的面积为(    )m2
(2)沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯,从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯,求用地毯铺满整个楼梯共需要花费(    )。(结果精确到1元)
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花园小区有一朝向为正南方向的居民楼(如下图),该居民楼的一楼是高4米的小区商场,商场以上是居民住房。在该楼的前面16米处要盖一栋高18米的办公楼。当冬季正午的阳光与水平线的夹角为35 °时,

问:(1)商场以上的居民住房采光(    )影响,为什么?
(2)若要使商场采光不受影响,两楼应相距(    )米。(结果保留一位小数)
(参考数据:sin35 °≈0.57,cos35 °≈0.82,tan35 °≈0.70)
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某校教学楼后面紧邻一个土坡,坡上面是一块平地,如下图所示,BC∥AD,斜坡AB长,坡度i=9:5。为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造,地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡。
(1)改造前坡B到地面的垂直距离BE的长为(    );
(2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC削进到F处,BF至少是(    )。
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某县妇联在“六一”国际儿童节到来之际,在县民族广场升起了一个氢气球以示祝贺(如下图),小明为测量氢气球离地面的高度CD,在地面上相距80米的A,B两点,测得∠CAD=43.8 °,∠CBD=39.2度.已知A,D,B三点在同一直线上,那么氢气球离地面的高度约为(    )米。(精确到0.1米)
(参考数据sin43.8 °≈0.69,tan43.8 °≈0.96,sin39.2 °≈0.63,tan39.2 °≈0.82)
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