如图(1),在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°。(1)求点E到BC的距离;(2)

如图(1),在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°。(1)求点E到BC的距离;(2)

题型:江西省中考真题难度:来源:
如图(1),在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°。
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x。
①当点N在线段AD上时(如图(2)),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图(3)),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)如图(1),过点E作EG⊥BC于点G
∵E为AB的中点,

在Rt△EBG中,∠B=60°,
∴∠BEG=30°,
,即点E到BC的距离为(2)①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变,
∵PM⊥EF,EG⊥EF,
∴PM∥EG,
∵EF∥BC,
∴EP=GM,PM=EG=
同理,MN=AB=4,如图(2),
过点P作PH⊥MN于H,
∵MN∥AB,
∴∠NMC=∠B=60°,则∠PMH=30°,


∴MH=PM·cos30°=
在Rt△PNH中,
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=
②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等边三角形,当PM=PN时,如图(3)
作PR⊥MN于R,则MR=NR,
类似①,
∴MN=2MR=3,
∵△MNC是等边三角形,
∴MC=MN=3,
此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2,
当MP=MN时,如图(4),
这时MC=MN=MP=
此时.x=EP=GM=6-1-=5-
当NP=NM时,如图(5),∠NPM=∠PMN=30°,
则∠PNM=120°,又∠MNC=60°,
∴∠PNM+∠MNC=180°,
因此点P与F重合,△PMC为直角三角形,
∴MC=PM·tan30°=1,
此时,x=EP=GM=6-1-1=4,
综上所述,当x=2或4或时,△PMN为等腰三角形。


举一反三
如图所示,A、B两城市相距100km,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上,已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内,请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?(参考数据:≈1.732,≈1.414)
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如图,在坡屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l为10米,坡角α为35°,则坡屋顶高度h为(    )米。(结果精确到0.1米)
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上),已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB。(结果精确到0.1m)

题型:陕西省中考真题难度:| 查看答案
已知:如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F。
(1)求证:CD∥BF;
(2)连接BC,若⊙O的半径为4,cos ∠BCD=,求线段AD、CD的长。
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问题探究
(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点P,并说明理由;
(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,并说明理由;
问题解决
(3)如图③,现有一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板,且∠APB=∠CP′D=60°,请你在图③中画出符合要求的点P和P′,并求出△APB的面积。(结果保留根号)
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