连结OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF,根据旋转的性质得∠AOD=∠COF=30°,再根据圆周角定理得∠ACD=∠FDC=15°,然后根据三角形外角性质得∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°;同理可得∠AMN=30°,由△DEF为等边三角形得DE=DF,则弧DE=弧DF,得到弧AE=弧DC,所以∠ADE=∠DAC,根据等腰三角形的性质有ND=NA,于是可根据“AAS”判断△DNQ≌△ANM;利用QD=QC,ND=NA可判断△DNQ的周长等于AC的长;由于∠NDQ=60°,∠DQN=30°,则∠DNQ=90°,所以QD>NQ,而QD=QC,所以QC>NQ. 解:连结OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF,如图,
∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF, ∴∠AOD=∠COF=30°, ∴∠ACD=∠AOD=15°,∠FDC=∠COF=15°, ∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°,所以①正确; 同理可得∠AMN=30°, ∵△DEF为等边三角形, ∴DE=DF, ∴, ∴++, 而, ∴, ∴∠ADE=∠DAC, ∴ND=NA, 在△DNQ和△ANM中
∴△DNQ≌△ANM(AAS),所以②正确; ∵∠ACD=15°,∠FDC=15°, ∴QD=QC, 而ND=NA, ∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC, 即△DNQ的周长等于AC的长,所以③正确; ∵△DEF为等边三角形, ∴∠NDQ=60°, 而∠DQN=30°, ∴∠DNQ=90°, ∴QD>NQ, ∵QD=QC, ∴QC>NQ,所以④错误. 故答案为①②③. |