如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm

题型：不详难度：来源：

如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过
D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

答案

解：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。
∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE。∴DO∥MN。
∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM =90°，即OD⊥DE。
∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线。
（2）连接CD，

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD= 。
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED =90°。
∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。 ∴，即。
解得：AC=15。 
∴⊙O的半径是7.5cm。

解析

（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线。
（2）由勾股定理，可得AD的长，又由△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径。