解:(1)证明:连接CD,
∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°。 ∴∠CAD+∠ADC=90°。 又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA, ∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。 ∴PA⊥OA。 又∵AD是⊙O的直径,∴PA是⊙O的切线。 (2)由(1)知,PA⊥AD,
又∵CF⊥AD,∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。 又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA。 又∵∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC。 ∴,即AC2=AG•AB。 ∵AG•AB=12,∴AC2=12。∴AC=。 (3)设AF=x, ∵AF:FD=1:2,∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。 在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AF•AD,即3x2=12。 解得;x=2。 ∴AF=2,AD=6。∴⊙O半径为3。 在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1, ∴根据勾股定理得:。 由(2)知,AG•AB=12,∴。 连接BD,
∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°。 在Rt△ABD中,∵sin∠ADB=,AD=6,∴sin∠ADB=。 ∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=。 |