如图，AB是O的直径，C为AB延长线上一点，CD交O于点D，且∠A=∠C=30º.（1）证明CD是的切线；（2）请你写出线段BC和AC之间的数量关系，并证明.

题型：不详难度：来源：

如图，AB是O的直径，C为AB延长线上一点，CD交O于点D，且∠A=∠C=30º.

（1）证明CD是的切线；
（2）请你写出线段BC和AC之间的数量关系，并证明.

答案

（1）连接OD，证明∠ODC=90°

解析

试题分析：（1）证明：连接OD．　　　　　　　　　
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
故DC是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等边三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．
点评：本题考查了等边三角形的判定和性质、切线的判定和性质、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半．解题的关键是连接OD，并证明△OBD是等边三角形．