小题1:解:(1)证明:如图1,连接OD. ∵OA=OD,AD平分∠BAC, ∴∠ODA=∠OAD,∠OAD=∠CAD. ………………1分 ∴∠ODA=∠CAD. ∴OD//AC. …………………………………2分 ∴∠ODB=∠C=90°. ∴BC是⊙O的切线. ……………………………3分 小题2:(2)解法一:如图2,过D作DE⊥AB于E. ∴∠AED=∠C=90°. 又∵AD=AD,∠EAD=∠CAD, ∴△AED≌△ACD. ∴AE=AC,DE=DC=3. 在Rt△BED中,∠BED =90°,由勾股定理,得 图2 BE=.………………………………………………………4分 设AC=x(x>0),则AE=x. 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=BD+DC=8,AB=x+4,由勾股定理,得 x2 +82= (x+4)2. 解得x=6. 即AC=6. …………………………………………………………5分 解法二:如图3,延长AC到E,使得AE=AB. ∵AD=AD,∠EAD =∠BAD, ∴△AED≌△ABD. ∴ED=BD=5. 在Rt△DCE中,∠DCE=90°,由勾股定理,得 CE=.………………………4分 图3 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=BD+DC=8,由勾股定理,得 AC2 +BC2= AB2. 即AC2 +82=(AC+4)2. 解得AC=6. …………………………………………………………5分 |