圆周角定理知:∠ABD= ∠AOD=30°,由于BD平分∠ABC,且PE∥AB,可得到∠PEC=2∠DBC=60°,由此可证得△PEB是等腰三角形,即PE=BE=2,过P作BC的垂线PM,通过解直角三角形易求得PM的值,而BD是∠ABC的角平分线,所以P到弦AB、BC的距离相等,由此得解.
解:过P作PF⊥AB,PG⊥BD; ∵∠CBD=∠ABC,PE∥AB交BD于点E,∠AOC=60°,BE=2, ∴∠CBD=∠ABC=30°; ∵BC为∠ABD的角平分线,PF=PG, ∵PE∥AB, ∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°,即PE=BE=2; ∴∠PEG=∠BPE+∠CDB=30°+30°=60°; ∵PG⊥BD, ∴∠PGE=90°; ∴sin∠PEG=; 即=; ∴PG=×PE=×2=3. 故答案为:3. 此题考查的知识点有:圆周角定理、角平分线的定义和性质、平行线的性质以及解直角三角形等知识的综合应用,难度适中. |