已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.(1)求证:△ABE∽△DBC;(2)已知BC=52,CD=

已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.(1)求证:△ABE∽△DBC;(2)已知BC=52,CD=

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已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
(1)求证:△ABE△DBC;
(2)已知BC=
5
2
,CD=


5
2
,求sin∠AEB的值;
(3)在(2)的条件下,求弦AB的长.
答案
(1)证明:∵BC为半圆的直径,
∴∠BAE=∠BDC=90°.
∵D是弧AC的中点,
∴∠ABE=∠DBC.
∴△ABE△DBC.

(2)在RT△DCB中,
∵∠BDC=90°,BC=
5
2
,CD=


5
2

∴BD=


5

∴sin∠DCB=BD:BC=
2


5
5

∵△ABE△DBC,
∴∠AEB=∠DCB.
∴sin∠AEB=
2


5
5


(3)∵∠AEB=∠DEC,
∴sin∠DEC=
2


5
5

∴EC=1.25,DE=


5
4
,BD=


5

BE=BD-DE=
3


5
4
,AB=
3


5
4
×sin∠AEB=1.5.
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°,则∠ABD的度数为(  )
A.40°B.50°C.80°D.90°

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已知:如图,AB,CD是⊙O的直径,∠C=∠B,
求证:CF=BE.
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如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接AC、AD,若∠ADC=50°,则∠BAC的度数为(  )
A.30°B.40°C.50°D.60°

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如图,AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE.猜想∠D与∠B的大小关系,并证明你的猜想.
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已知点O为△ABC的外心,且∠BOC=80°,则∠BAC=______.
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