已知:圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,AB>CD.若CD=4,则AB的弦心距为(  )A.5B.2C.3D.2

已知:圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,AB>CD.若CD=4,则AB的弦心距为(  )A.5B.2C.3D.2

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已知:圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,AB>CD.若CD=4,则AB的弦心距为(  )
A.


5
B.2C.


3
D.


2
答案
如图,设AC与BD的交点为O,过点O作GH⊥CD于G,交AB于H;作MN⊥AB于M,交CD于点N.
在Rt△COD中,∠COD=90°,OG⊥CD;
∴∠DOG=∠DCO;
∵∠GOD=∠BOH,∠DCO=∠ABO,
∴∠ABO=∠BOH,即BH=OH,同理可证,AH=OH;
即H是Rt△AOB斜边AB上的中点.
同理可证得,M是Rt△COD斜边CD上的中点.
设圆心为O′,连接O′M,O′H;则O′M⊥CD,O′H⊥AB;
∵MN⊥AB,GH⊥CD;
∴O′HMN,OMGH;即四边形O′HOM是平行四边形;
因此OM=O′H.由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线,所以OM=O′H=
1
2
CD=2.
故选B.
举一反三
如图,AB为⊙O直径,D为
BC
的中点,DE⊥AC于E,
(1)求证:OD⊥DE;
(2)已知CE=1,DE=3,求AD长.
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如图⊙O中,A、B、C、D、E均在圆上,∠A=30°,∠E=25°,则∠BOD的度数是(  )
A.55°B.125°C.110°D.150°

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如图,OA是⊙O的半径,弦BC⊥OA,D是⊙O上一点,若∠ADC=26°,则∠AOB的度数为(  )
A.13°B.26°C.52°D.78°

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如图,在⊙O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于______度.
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如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,∠CAB的角平分线AE交BC于点D,交半圆O于点E.若AB=10,tan∠CAB=
3
4
,求线段BC和CD的长.
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