(1)判断:AD平分∠BAC. 证明: 证法一:连接OD; ∵BC切⊙O于D, ∴OD⊥BC, 又△ABC为Rt△,且∠C=90°, ∴AC⊥BC, ∴OD∥AC, ∴∠1=∠2; 又∵OA=OD, ∴∠3=∠2, ∴∠1=∠3.
证法二:连接ED; ∵AE是⊙O直径, ∴∠ADE=90°, ∴∠3+∠AED=90°; 又∵∠C=90°, ∴∠1+∠ADC=90°, 又∵∠AED=∠ADC, ∴∠1=∠3.
证法三:连接EF,DF; ∵AE是⊙O直径, ∴∠AFE=90°, 又∵∠ACE=90°, ∴∠AFE=∠ACB, ∴EF∥BC, ∴∠4=∠5; 又∵∠3=∠4,∠1=∠5, ∴∠1=∠3.
(2) 解法一:设BE=x,则BD=3BE=3x, 据切割线定理得BD2=BE×BA, 得AB=9x,OA=OE=4x; 又∵OD∥AC, ∴=,即:=, ∴x=, ∴⊙O的半径为5.
解法二: 如图,过O作OG⊥AC,又AC⊥BC,OD⊥BC, 则四边形ODCG为矩形. ∴OG=CD=3,OG∥BC; 又OG∥BC, ∴=, ∴=, ∴x=,x=0,(舍去) ∴⊙O的半径为5. 备注:本解法是在解法一得AB=9x,OA=OE=4x的基础上进行的. |