如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E.(1)求证:点E是边BC的中点;(2)若EC=3

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E.(1)求证:点E是边BC的中点;(2)若EC=3

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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E.
(1)求证:点E是边BC的中点;
(2)若EC=3,BD=2


6
,求⊙O的直径AC的长度;
(3)若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由.
答案
(1)证明:连接DO;
∵∠ACB=90°,AC为直径,
∴EC为⊙O的切线;
又∵ED也为⊙O的切线,
∴EC=ED,
又∵∠EDO=90°,
∴∠BDE+∠ADO=90°,
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°,
∴∠BDE=∠B,
∴EB=ED,
∴EB=EC,即点E是边BC的中点;

(2)∵BC,BA分别是⊙O的切线和割线,
∴BC2=BD•BA,
∴(2EC)2=BD•BA,即BA•2


6
=36,
∴BA=3


6

在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC=


AB2-BC2
=


(3


6
)
2
-62
=3


2


(3)△ABC是等腰直角三角形.
理由:∵四边形ODEC为正方形,
∴∠DOC=∠ACB=90°,即DOBC,
又∵点E是边BC的中点,
∴BC=2OD=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,AC和BD是它的两条切线,CO平分∠ACD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=2,BD=3,求AB的长.
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如图,AB是⊙O的直径,直线AC,BD是⊙O的切线,A,B是切点.求证:ACBD.
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如图,矩形ABCD,AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径的圆切AD于E,交BC于F,交CD于G.
(1)求⊙O的半径R;
(2)设∠BFE=α,∠CED=β,请写出α,β,90°三者之间的关系式(只需写出一个)并证明你的结论.
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如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,切点为C,若AB=2


3
cm,OA=2cm,则图中阴影部分(扇形)的面积为______.
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已知:如图,AB是半圆O的直径,P是AB延长线上的一点,若OB=BP,则∠P的度数为(  )
A.60°B.45°C.30°D.15°

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