(1)证明:连接OB, ∴OA=OB, ∴∠A=∠ABO, ∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°, ∴∠OBC=30°, ∴∠ABO=∠OBC=30°, ∴点O在∠ABC的角平分线上, ∴点O到直线AB的距离等于OC的长, 即以O为圆心,以OC为半径的圆与AB相切;
(2)连接OB,∴OA=OB, ∴∠A=∠ABO, ∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°, ∴∠OBC=30°, ∴OC=OB=OA, 即OA=2OC, 故①正确; ∵cos∠OBC=, ∴BC=OB, 即BC=OA, 故②错误; 延长BC交⊙O于D, ∵AC⊥BD, ∴AD=AB, ∴△ABD为等边三角形, ∴ | AD | = | AB | = | BD | , ∴点A、B、D将⊙O的三等分. 故③正确; 连接OD,则阴影部分的面积=直角三角形ODC的面积+扇形AOD的面积=(π+)•OA2, 故④正确; 故答案为①③④. |