如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点E,连结EB、ED,∠CBD=∠E.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若∠E=3

如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点E,连结EB、ED,∠CBD=∠E.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若∠E=3

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点E,连结EB、ED,∠CBD=∠E.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若∠E=30°,BC=
4


3
3
,求阴影部分的面积.(计算结果精确到0.1)(参考数值:π≈3.14,


2
≈1.41,


3
≈1.73)
答案
(1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,
∵∠CBD=∠E,∠A=∠E,
∴∠CBD=∠A,
∴∠CBD+∠ABD=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)连结OD,作OH⊥AC于H,如图,
在Rt△ABC中,∠A=∠E=30°,
∴AB=


3
BC=


3
×
4


3
3
=4,
∴OA=2,
在Rt△AOH中,∠A=30°,
∴∠AOH=60°,
∴OH=
1
2
OA=2,AH=


3
OH=2


3

∵OH⊥AD,
∴AH=HD=2


3
,即AD=4


3

∴∠AOH=∠DOH=60°,
∴∠AOH=120°,
∴阴影部分的面积=S扇形AOD-S△AOD
=
120π•22
360
-
1
2
×4


3
×1
=
3
-2


3

≈0.7.
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,弦AC与AB成30°的角,CD与⊙O相切于C,交AB的延长线于D.求证:AC=CD.
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两同心圆的半径分别是10和6,大圆的弦AB长16.AB与小圆的位置关系是______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,⊙O是△ABC外接圆,直径AB=12,∠A=2∠B.
(1)∠A=______°,∠B=______°;
(2)求BC的长(结果用根号表示);
(3)连接OC并延长到点P,使CP=OC,连接PA,画出图形,求证:PA是⊙O的切线.
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如图,已知PA、PB切⊙O于A、B两点.连接AB且PA、PB的长分别是方程x2-2mx+3=0的两根,AB=m,求⊙O的半径.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,∠D=90°,AD=a,BC=b,AB=c,以AB为直径作⊙O.试探究:
(1)当a,b,c满足什么关系时,⊙O与DC相离?
(2)当a,b,c满足什么关系时,⊙O与DC相切?
(3)当a,b,c满足什么关系时,⊙O与DC相交?
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