已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D,交AC于点E.(1)求证:DE∥OB;(2)若⊙O的半径

已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D,交AC于点E.(1)求证:DE∥OB;(2)若⊙O的半径

题型:不详难度:来源:
已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D,交AC于点E.
(1)求证:DEOB;
(2)若⊙O的半径为2,BC=4,求AD的长.
答案
(1)证明:∵∠ACB=90°,CO是⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线,
又∵AB与⊙O相切,
∴OC=OD,且BO为∠CBA的角平分线,
∴BO⊥CD,(3分)
又∵CE是⊙O的直径,且C是⊙O上一点,
∴DE⊥CD,
∴DEOB;(5分)

(2)∵DEOB,
AD
DB
=
AE
EO

又BD=BC=4,OE=2,
AD
4
=
AE
2
,即AD=2AE,(7分)
又AD、AC分别是⊙O的切线和割线,
∴AD2=AE•AC,即AD2=AE•(AE+4),(9分)
∴AD2=
AD
2
•(
AD
2
+4),可得AD=
8
3

举一反三
如图所示,PA,PB是⊙O的切线,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC=______度.
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如图,四边形AFCD是菱形,以AB为直径的圆O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°.
(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的直径为10cm,求AE的长.(sin67.5°=0.92,tan67.5°=2.41,精确到0.1)
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如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了(  )
A.2周B.3周C.4周D.5周

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如图,已知AB是⊙O的直径,P是AB延长线上一点,PC切⊙O于C,AD⊥PC于D,CE⊥AB于E,求证:
(1)AD=AE
(2)PC•CE=PA•BE.
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如图,四边形ABCD是等腰梯形,ADBC,BC=2,以线段BC的中点O为圆心,以OB为半径作圆,连结OA交⊙O于点M
(1)若∠ABO=120°,AO是∠BAD的平分线,求
BM
的长;
(2)若点E是线段AD的中点,AE=


3
,OA=2,求证:直线AD与⊙O相切.
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