如图,等边△ABC的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是BC的中点.(1)试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;(2)设直线CP与AB相交

如图,等边△ABC的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是BC的中点.(1)试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;(2)设直线CP与AB相交

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如图,等边△ABC的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是
BC
的中点.
(1)试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;
(2)设直线CP与AB相交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足为E,证明BE是⊙O的切线,并求△BDE的面积.
答案
(1)CF是⊙O的切线,(如图)
CF与直线AB不相交.(1分)
证明:∵CF是⊙O的切线,
∴∠BCF=∠A,(3分)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠A,
∴∠BCF=∠ABC,
∴CFAB,
∴CF与直线AB不相交.(4分)

(2)连接BO并延长交AC于H.
∵⊙O是等边△ABC的外接圆,
∴∠BHC=90°,(5分)
∵点P是BC的中点,
∴∠BCE=30°.(6分)
又∵∠ACB=60°,
∴∠HCE=90°.
∵∠BEC=90°,
∴∠HBE=90°.
∴BE是⊙O的切线. (8分)
在△ACD中,
∵∠ACD=90°,∠A=60°,
∴∠D=30°,(9分)
∴BD=BC,
∴DE=CE,
∴S△BDE=S△BCE,(10分)
在矩形BHCE中,
S△BCE=S△BCH=
1
2
S,(11分)
∴S△BCE=
1
2
S,
∴S△BDE=
1
2
S.(12分)
举一反三
如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD经过⊙O上一点C,AD⊥DC,AC平分∠DAB.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)若AD=2,AC=


5
,求AB的长.
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自圆外一点向圆引两条切线所形成的夹角为60°,若切线长为5cm,则此圆的半径为______cm.
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如图矩形ABCD中,过A,B两点的⊙O切CD于E,交BC于F,AH⊥BE于H,连接EF.
(1)求证:∠CEF=∠BAH;
(2)若BC=2CE=6,求BF的长.
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已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,过B、D、E三点作⊙O.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连接EF,若BC=9,CA=12.求
EF
AC
的值.
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如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.
(1)试探究AD和CD的位置关系,并说明理由.
(2)若AD=3,AC=


15
,求AB的长.
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